TAO

Теренс Тао, которого часто называют "Моцартом математики", широко считается одним из величайших математиков в истории. Он был удостоен Филдсовской медали и Премии за прорыв в математике, а также внес новаторский вклад в поразительно широкий спектр областей математики и физики. Тао также известен своей необыкновенной продуктивностью и способностью переходить от одной темы к другой, что позволило ему быть очень продуктивным. Он получил ускоренное образование, пропустил много классов и имел благоприятные возможности для наставничества. Тао приехал в аспирантуру в Принстон.

Основные работы и вклад Теренса Тао:

1. Проблема Какеи (Kakeya problem): Это одна из первых действительно сложных исследовательских математических задач, над которой Тао много работал в начале своей карьеры. Задача исторически возникла как головоломка, предложенная японским математиком Соити Какея около 1918 года. Изначально это был вопрос о минимальной площади, необходимой для поворота иглы на плоскости. В двух измерениях Безикович показал, что иглу можно повернуть, используя сколь угодно малую площадь. В трех измерениях, проблема заключается в определении минимального объема, необходимого для вращения очень тонкой иглы (например, космического телескопа) во всех возможных направлениях. Тао объясняет, что задача оказалась удивительно связанной со множеством проблем в частных дифференциальных уравнениях (ЧДУ), теории чисел, геометрии и комбинаторике, таких как распространение волн.
2. Уравнения Навье-Стокса (Navier-Stokes equations):
3. Тао отмечает, что проблема Какеи, хотя и не напрямую, но косвенно помогает понять уравнения Навье-Стокса, которые управляют потоком жидкости, например, воды. Это одна из семи Проблем тысячелетия Фонда Клэя, за решение которой предусмотрен приз в миллион долларов.
4. В 2016 году Тао опубликовал работу "Конечный временной взрыв для усредненного трехмерного уравнения Навье-Стокса" (Finite Time Blowup for an Averaged Three-Dimensional Navier-Stokes Equation). В этой работе он, по сути, "сконструировал" или "изменил законы физики", чтобы заставить усредненное уравнение Навье-Стокса "взорваться" (то есть, чтобы скорость стала бесконечной в какой-то момент времени). Цель этого — показать, что для доказательства глобальной регулярности (отсутствия "взрыва") для реальных уравнений Навье-Стокса необходимо использовать некоторые специфические особенности истинного уравнения, которые не присутствуют в его искусственной модели.
5. Его техника использует концепцию "суперкритичности" ЧДУ, где транспортные члены доминируют над диссипационными на малых масштабах. Он противопоставляет это "критическим" и "субкритическим" уравнениям, для которых существуют технологии для доказательства регулярности.
6. Тао также выдвинул идею "жидкого компьютера" или "водного панка" как способа решить проблему "взрыва" для уравнений Навье-Стокса. Он представил, что можно создать флюидный аналог машины фон Неймана – самовоспроизводящегося робота из воды, который бы передавал свою энергию в уменьшенную версию самого себя, создавая сценарий "взрыва". Эта идея черпает вдохновение из клеточных автоматов, таких как "Игра Жизни" Конвея, где простые правила могут порождать сложные структуры, включая самовоспроизводящиеся объекты и логические элементы.
7. Структурные теоремы и теория чисел:
8. Теренс Тао много работал над разработкой "структурных теорем" или "обратных теорем", которые дают тесты для определения, когда что-то обладает структурой.
9. Его совместная работа с Беном Грином привела к теореме Грина-Тао (Green-Tao theorem), которая утверждает, что простые числа содержат арифметические прогрессии любой длины. Это является развитием теоремы Сёмереди. Он отмечает, что арифметические прогрессии гораздо более "неразрушимы" в простых числах, чем, например, пары простых-близнецов.
10. Тао также добился прогресса в гипотезе о простых-близнецах (twin-prime conjecture), показав, что существует бесконечно много пар простых чисел, которые отличаются не более чем на 246. Он объясняет, что доказать полную гипотезу о простых-близнецах сложно из-за "барьера четности", который не позволяет текущим методам достичь необходимой плотности простых чисел.
11. Уравнения поля Эйнштейна (Einstein's field equations): Тао внес вклад в математическое понимание этих уравнений, работая над уравнением волновых отображений (wave maps equation) или сигма-полевой моделью. Он решил проблему глобальной регулярности для критического уравнения, разработав калибровочное преобразование, которое линеаризует нелинейные эффекты.
12. Гипотеза Коллатца (Collatz conjecture): Тао добился прогресса в этой проблеме, которая удивительно сложна, несмотря на простоту ее формулировки. Он доказал, что статистически 99% всех входных данных в итоге уменьшатся, хотя и не обязательно до единицы. Он использует аргументы из теории вероятностей.

Теренс Тао демонстрирует уникальный подход к математике, заключающийся в способности находить связи между, казалось бы, разрозненными областями. Он описывает себя как "лису" (в отличие от "ежа"), которая знает много вещей, но не обязательно глубоко в одной области, и умеет применять методы из одной области в другой. Он также активно участвует в крупномасштабных математических проектах с участием десятков или даже пятидесяти соавторов, используя такие инструменты, как Lean, для формализации доказательств и коллективной работы, что значительно увеличивает масштабы экспериментальной математики.

Вышло его объемное интервью с Лексом Фридманом https://youtu.be/HUkBz-cdB-k

Краткий обзор: Математика, Физика и Будущее ИИ (по мотивам интервью с Теренсом Тао)

1. Фундаментальные математические проблемы и их взаимосвязи

Тао обсуждает ряд сложных математических задач, демонстрируя глубокую взаимосвязь различных областей математики и их неожиданные приложения в физике.

1.1. Проблема иглы Безиковича и ее расширения

1. Двумерный случай: Проблема заключается в развороте иглы (бесконечно маневренной) на плоскости с использованием минимальной площади. "Мы понимаем все в двух измерениях."
2. Трехмерный случай (проблема вращения телескопа): Вопрос усложняется до вращения телескопа (трубы) в пространстве, чтобы увидеть каждую звезду, занимая при этом минимальный объем. Если телескоп имеет "нулевую толщину", объем может быть сколь угодно мал. Однако, если толщина δ не равна нулю, то "как быстро объем уменьшается в зависимости от δ?" Было доказано, что объем уменьшается "очень, очень медленно, примерно логарифмически".
3. Неожиданные связи: Эта, казалось бы, абстрактная геометрическая задача оказалась "удивительно связанной со многими проблемами в дифференциальных уравнениях в частных производных, в теории чисел, в геометрии, комбинаторике".

1.2. Нелинейные уравнения и сингулярности (Навье-Стокса)

1. Волновое распространение и концентрация энергии: Проблема иглы связана с поведением волн. Волны, изначально сильно диспергированные, могут фокусироваться "в одну точку в пространстве и времени", создавая "всплеск" или даже "сингулярность". Если бы существовал "очень эффективный способ упаковки труб, указывающих в разных направлениях, в очень, очень узкую область очень малого объема", это позволило бы создавать волны, которые "концентрировались бы не просто в одной точке, но было бы много концентраций в пространстве и времени".
2. Проблема регулярности Навье-Стокса: Это одна из семи проблем тысячелетия. Уравнения Навье-Стокса описывают течение жидкости. "Вопрос спрашивает, если вы начинаете с гладкого поля скоростей воды, может ли оно когда-либо сконцентрироваться настолько, что скорость станет бесконечной в какой-то точке? Это называется сингулярностью." В реальной жизни сингулярности не наблюдаются: "Если вы брызгаете водой в ванной, она не взорвется на вас". Однако, математики стремятся доказать, что этого не произойдет "на 100% во всех ситуациях".
3. Поведение энергии и турбулентность: Энергия в жидкости имеет тенденцию рассеиваться из-за вязкости. Однако, "потенциально существует некий демон, который продолжает толкать энергию жидкости во все меньшие и меньшие масштабы", приводя к "конечновременному взрыву". В турбулентности "энергия рассеивается до такой степени, что вязкость может все контролировать".
4. Диссипация против переноса: В уравнениях Навье-Стокса конкурируют два члена: "диссипативный член" (сглаживающий) и "член переноса" (делающий поведение нелинейным и непредсказуемым). В двух измерениях (где взрыва не происходит) эти силы "примерно одинаковы по силе". В трех измерениях, "на все меньших и меньших масштабах, члены переноса намного сильнее, чем члены вязкости", что делает проблему чрезвычайно сложной.
5. Важность мелкомасштабной информации: В отличие от планетарного движения, где объекты можно аппроксимировать точечными массами, для "суперкритических уравнений" (как Навье-Стокса) "мелкомасштабная информация действительно важна".

1.3. Природа случайности и гипотеза Римана

1. Статистически невозможные, но математически возможные события: Тао приводит пример со смесью кислорода и азота, которая в принципе могла бы разделиться из-за "странного заговора" или "микроскопического демона Максвелла", хотя статистически это крайне маловероятно. То же самое относится к цифрам числа Пи: "Цифры выглядят так, будто у них нет шаблона, и мы верим, что у них нет шаблона." Однако "нет способа доказать это с помощью нашей нынешней технологии".
2. Гипотеза Римана: Это фундаментальная проблема о распределении простых чисел. Она "утверждает, что если смотреть на них мультипликативно, для вопросов, касающихся только умножения, без сложения, простые числа действительно ведут себя настолько случайно, насколько это можно ожидать". Это связано с феноменом "погашения квадратного корня" в теории вероятностей, где точность измерения улучшается с увеличением выборки. Гипотеза Римана предполагает, что функция Римана-дзета флуктуирует "как если бы они были случайными".

1.4. Проблема Коллатца

1. Простота формулировки, сложность решения: "Если число четное, вы делите его на два, а если нечетное, вы умножаете его на три и прибавляете единицу." Гипотеза состоит в том, что "независимо от того, как высоко вы начнете, этот процесс в конечном итоге всегда спустится на землю".
2. Сходство с броуновским движением: Последовательности Коллатца "выглядят как броуновское движение, они выглядят как фондовый рынок. Они просто идут вверх и вниз по кажущейся случайной схеме."

2. Математическое мышление и методология

Тао дает уникальное представление о том, как математики подходят к проблемам и чем математика отличается от других наук.

2.1. Идеализация и "сферические коровы"

1. Упрощение для чистоты: "Часто математика становится намного чище, когда вы делаете что-то чрезвычайно большим или чрезвычайно маленьким, чтобы это было точно бесконечным или нулевым." В физике "мы шутим о том, что принимаем сферических коров". Это позволяет "идеализировать, отправлять вещи в бесконечность, отправлять что-то в ноль, и тогда с математикой становится намного проще работать".
2. Подводные камни бесконечности: Использование бесконечности требует осторожности: "Вы должны знать, что делаете, когда допускаете бесконечность."

2.2. Математика как "игра с чит-кодами"

1. Гибкость в определении проблемы: "Красота математики в том, что вы можете менять проблему, менять правила, как вам угодно. Вам это не разрешено ни в какой другой области." Это похоже на "компьютерную игру, где доступны неограниченные чит-коды".
2. Стратегическое "жульничество": Подход Тао заключается в "стратегическом жульничестве". Он может упростить проблему, например, изменив размерность до единицы, или игнорировать "члены ошибок", чтобы сначала понять "главный член".

2.3. Математическая теория как сжатие данных

1. Сжатие информации о Вселенной: Физико-математическая теория — это "сжатие Вселенной, сжатие данных". Вместо "петабайтов наблюдений" вы можете "сжать их до модели, которую можно описать на пяти страницах и указать определенное количество параметров".
2. Предпочтение моделей с меньшим количеством параметров: Хорошая модель имеет "меньше параметров, чем точек данных в вашем наборе наблюдений".

2.4. Роль аксиом и выводов

1. Уникальный подход математики: "Математика необычна среди других дисциплин тем, что мы начинаем с гипотез, таких как аксиомы модели, и спрашиваем, какие выводы следуют из этой модели." В большинстве других дисциплин "вы начинаете с выводов. Я хочу сделать это. Я хочу построить мост, я хочу заработать деньги".

2.5. Коллективный интеллект и технологическое усиление

1. "Человеческий разум" как коллективный и дополненный: "Наш человеческий разум никогда не сможет что-то понять? ...формулировка проблемы неверна, потому что на самом деле нет больше просто одиночного человека. Мы уже дополнены чрезвычайно сложными, замысловатыми способами." Язык сам по себе является "технологией".
2. Использование различных центров мозга: Математики используют различные области мозга: "визуальный центр", "языковой центр" (для символического мышления), "центр мозга, который очень хорошо решает головоломки и игры".

3. Сотрудничество, технологии и будущее математики

Тао активно использует современные инструменты и подчеркивает важность коллаборации.

3.1. Lean и помощники доказательств

1. Язык с сертификатами доверия: Lean — это компьютерный язык, который "может производить не только ответ, но и доказательство того, как он получил этот ответ". Это обеспечивает "сертификат доверия", позволяя "бездоверительную математику" и сотрудничество с незнакомыми людьми.
2. "Чертеж" как детализированный план: В Lean можно создать "чертеж" проблемы, который является "очень педантично написанной версией статьи, где каждый шаг объяснен как можно более детально". Это позволяет разбивать проблему на "самостоятельные" части, которые могут решаться независимо.
3. Пример проекта с 50 авторами: Проект по исследованию алгебраических законов, где было изучено "22 миллиона пар" законов, был решен "около 50 людьми". Это "огромное число" для математики.

3.2. Искусственный интеллект в математике

1. Большие языковые модели и ошибки: "Сложность возрастает экспоненциально с количеством шагов, вовлеченных в доказательство." БЯМ делают ошибки: "если доказательство состоит из 20 шагов, а ваша модель имеет 10% вероятность неудачи на каждом шаге, крайне маловероятно, что она фактически достигнет конца."
2. "Запах кода" и оценка стратегий: Тао надеется, что ИИ смогут "оценивать жизнеспособность определенных стратегий доказательства". Это как "запах кода" у программистов или "чувство запаха" у шахматистов.
3. Генерация гипотез и связанных работ: В этом десятилетии ИИ может "сделать предположение между двумя вещами, которые люди считали несвязанными". Также важной функцией будет "автоматически генерировать раздел "связанные работы", который будет правильным".
4. Границы возможностей ИИ: Хотя ИИ могут помочь, пока им сложно работать на "уровне выпускника".

4. Философские размышления

Тао делится своими взглядами на природу математического открытия, важность открытых проблем и карьеру.

4.1. "Теория всего" и роль математиков

1. Математика как предвестник физики: "Часто бывает так, что когда физикам нужна какая-то математическая теория, часто существует какой-то предшественник, который математики разработали раньше."
2. Скромность в отношении "теории всего": Тао сомневается, что он сам разработает "теорию всего", но считает, что человечество будет прогрессировать.

4.2. Психологические аспекты и самосомнение

1. Давление и неопределенность: Математика может быть "настолько поглощающей, что может сломить вас", но математики могут смягчать это, обещая "добиться некоторого прогресса или обнаружить какие-либо интересные явления" вместо полного решения проблемы.
2. Признание ошибок: В математике "мы вынуждены постоянно признавать ошибки", что способствует "культуре признания ошибок".

4.3. Различные стили математиков

1. "Лиса" против "ежа": Тао описывает два стиля: "лиса" (он сам) быстро переключается между проблемами, и "еж" (более академичный), который углубляется в одну область, зная ее историю и тонкости.
2. Ценность разных подходов: Тао ценит разнообразие: "Нам нужны такие люди".

4.4. Карьерный путь и обучение

1. Неуверенность в современном мире: Тао признает "много неопределенности сейчас в мире" для молодых людей, выбирающих карьеру.
2. Важность непрерывного обучения: В математике "никто не знает всей современной математики", и всегда есть что-то, что вы не знаете или в чем новичок. Тао готов "быть новичком" и "сосать" в том, что другие знают лучше.

4.5. Важность открытых проблем (проблемы Гильберта)

1. Катализатор прогресса: "Есть некая странная сила в объявлении того, какие проблемы трудно решить. Заявление об открытых проблемах." Если никто не говорит: "Вы должны сделать X", то "все просто будут ходить кругами, ожидая, пока кто-нибудь еще что-то сделает, и ничего не будет сделано".

5. Примеры объединения концепций

1. Декарт и аналитическая геометрия: Объединение геометрии и чисел ("геометрические проблемы можно превратить в проблемы о числах") было "важным развитием", которое сегодня кажется "тривиальным".
2. Обобщение проблемы Пуанкаре: От классификации поверхностей (по "роду") до более высоких измерений. Хамильтон предложил подход с помощью дифференциальных уравнений (Риччи-поток), который "почти точно то же самое" что и проблема сингулярностей в ПДЭ. Процесс сглаживания пространства либо приводит к сфере, либо создает сингулярность, как и "глобальная регулярность или конечновременной взрыв".

Интервью с Теренсом Тао раскрывает математику как живую, динамичную область, глубоко связанную с физическим миром. Оно подчеркивает не только сложность фундаментальных проблем, но и красоту их взаимосвязей, важность абстракции, силу сотрудничества и технологий, а также постоянный поиск новых способов понимания и описания реальности. Мысль о математике как о "компрессии Вселенной" и стремление к абсолютному доказательству, даже для статистически очевидных явлений, выделяют ее уникальную роль в человеческом познании.